Matrici Tilt
Consideriamo la seguente sostituzione lineare:
x = a + b
y = b
z = c
e la sua matrice dei coefficienti
\pmatrix{ 1 & 1 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1}
Questa sostituzione è facilmente invertibile, basta esprimere a, b, c in funzione di x, y, z nel seguente modo:
x - y = a
y = b
z = c
o in forma di sostituzione lineare
a = x - y
b = y
c = z
questa è la sostituzione lineare inversa.
Combinando la prima sostituzione lineare con la sua inversa otteniamo:
x = (x - y) + y
y = x
z = z
che sono equazioni
identità.
In termini di prodotto righe per colonne:
\pmatrix{ 1 & 1 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1} \pmatrix{ 1 & -1 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1} = \pmatrix{ 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1}
La matrice
\pmatrix{ 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1}
è la matrice dei coefficienti di una sostituzione lineare per la sua inversa, in cui le nuove e le vecchie variabili sono le stesse e nello stesso ordine (come abbiamo visto dalle equazioni identità), questa è chiamata
matrice identità.
Data una qualsiasi matrice A chiameremo
diagonale di una matrice quei valori che hanno lo stesso numero di riga e di colonna.
Esempio:
data
A= \pmatrix{ 1 & 2 & 3\cr 4 & 5 & 6}
la diagonale di A è formata da
\left ( 1, 5 \right ) che sono rispettivamente i valori di posizione
\left ( 1, 1 \right ) e
\left ( 2, 2 \right ).
La matrice identità si può quindi definire come una matrice
quadrata i cui valori nella diagonale sono tutti 1 e gli altri sono 0.
Esempio:
I_{3}= \pmatrix{ 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1}
è un matrice identità di dimensione 3 x 3.
La matrice identità di dimensione n x n sarà rappresentata con
I_{n} o, se la sua dimensione è chiara dal contesto, sempicemente con I.
Se A ha n righe allora
I_{n}A = A.
Se A ha n colonne allora A
I_{n} = A.
Si definisce
matrice tilt una matrice che ha gli stessi valori della matrice identità tranne che per un valore adiacente alla diagonale, tale valore assumerà valore 1 o -1.
Esempio:
\pmatrix{ 1 & 1 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1}
Una matrice tilt si può facilmente ottenere da una matrice identità semplicemente sommando o sottraendo una riga o una colonna alla sua adiacente.
Possiamo vedere che una matrice tilt è invertibile semplicemente sostituendo il valore diverso da zero fuori dalla diagonale con il suo opposto.
Esempio:
l'inverso della matrice tilt vista sopra è
\pmatrix{ 1 & -1 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1}
L'inverso di una tilt T si può indicare con
T^{-1}.
Seguendo questa notazione:
TT^{-1} = T^{-1}T = I proprio come visto sopra.
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