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Aggiunzioni:
Se A \simeq B, xI_{n} -A e xI_{n}-B hanno lo stesso determinante.
Per una matrice n x n Aa valori razionali, il determinante di xI_{n}-A è chiamato polinomio caratteristico di A. Così, il corollario dice che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Il polinomio caratteristico di una matrice n x n A è sempre monico di grado n, visto che il determinante di xI_{n}-A è una somma di

Omissioni:
Se A \simeq B, xI_{n} -A e xI_{n}-B hanno lo stesso deterinante.

Modificato il 2006-02-19 22:25:46 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Se A \simeq B, xI_{n} -A e xI_{n}-B hanno lo stesso deterinante.

Omissioni:
Se A \simeq B, xI_{n} -A e xI_{n}-B hanno lo stesso deterinante.

Modificato il 2006-02-19 22:25:19 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Corollario
Se A \simeq B, xI_{n} -A e xI_{n}-B hanno lo stesso deterinante.

Modificato il 2006-02-19 21:58:25 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Mostreremo innanzitutto che data una matrice E di dimensione n x n a valori razionali e una matrice diagonale e invertibile D a valori polinomiali, allora D^{-1}ED\sim E.

Sappiamo che E è equivalente a una determinata matrice diagonale F, quindi date due matrici unimodulari M e N: E = MFN
ovvero: E = T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_l
dove le T_i sono tilt polinomiali.

Ora, dato che D^{-1}D = I, possiamo scrivere:
G = D^{-1}ED = D^{-1}T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_lD = D^{-1}T_1DD^{-1}T_2DD^{-1}T_3D...D^{-1}T_kDD^{-1}FDD^{-1}T_{k+1}D...D^{-1}T_lD.

Consideriamo D^{-1}ED, sappiamo che il valore di riga i e colonna j di G sarà esattamente d_i^{-1}d_j volte il valore di riga i e colonna j di E.

Dato che d_i^{-1}d_j=1 allora possiamo vedere che G = E, ovvero D^{-1}ED = E, e che D^{-1}T_iD = T_i, ovvero che D^{-1}T_iD è una tilt polinomiale.

Abbiamo quindi così che D^{-1}ED \sim D^{-1}FD.

Omissioni:
Mostreremo innanzitutto che data una matrice E di dimensione n x n a valori razionali e una matrice diagonale e invertibile D a valori polinomiali, allora D^{-1}ED\sim E.

Sappiamo che E è equivalente a una determinata matrice diagonale F, quindi date due matrici unimodulari M e N: E = MFN
ovvero: E = T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_l
dove le T_i sono tilt polinomiali.
Ora, dato che D^{-1}D = I, possiamo scrivere:
G = D^{-1}ED = D^{-1}T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_lD = D^{-1}T_1DD^{-1}T_2DD^{-1}T_3D...D^{-1}T_kDD^{-1}FDD^{-1}T_{k+1}D...D^{-1}T_lD.
Consideriamo D^{-1}ED, sappiamo che il valore di riga i e colonna j di G sarà esattamente d_i^{-1}d_j volte il valore di riga i e colonna j di E.
Dato che d_i^{-1}d_j=1 allora possiamo vedere che G = E, ovvero D^{-1}ED = E, e che D^{-1}T_iD = T_i, ovvero che D^{-1}T_iD è una tilt polinomiale.
Abbiamo quindi così che D^{-1}ED \sim D^{-1}FD.

Modificato il 2006-02-19 20:57:11 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M^{-1} (che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M^{-1} (che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:56:03 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M^{-1} (che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M^{-1} (che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1}"" sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:54:47 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M^{-1} (che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1}"" sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che //N// è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M^{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:35:41 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che //N// è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M^{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M^{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:21:53 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Visto che P è equivalente ad una matrice diagonale, esistono due matrici unimodulari a valori interi M ed N tali che MPN è una matrice invertibile diagonale a valori razionali che chiameremo D; quindi MPN=D.

Modificato il 2006-02-19 20:19:52 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \sim E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Così xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M^{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Visto che P è equivalente ad una matrice diagonale, esistono due matrici unimodulari a valori interi M ed N tali che MPN è una matrice invertibile diagonale a valori razionali che chiameremo D; quindi MPN=D.Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \sim E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Così xI^n-A = xI^n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI^n-N)P=ND^{-1}M(xI^n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI^n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI^n-B)M^{-1}D (visto che \sim M(xI^n-B)M^{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI^n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)
Corollario:

Modificato il 2006-02-19 20:19:10 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Visto che P è equivalente ad una matrice diagonale, esistono due matrici unimodulari a valori interi M ed N tali che MPN è una matrice invertibile diagonale a valori razionali che chiameremo D; quindi MPN=D.Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \sim E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Così xI^n-A = xI^n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI^n-N)P=ND^{-1}M(xI^n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI^n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D^{-1}M(xI^n-B)M^{-1}D (visto che \sim M(xI^n-B)M^{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI^n-B (visto che M ed M^{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Visto che P è equivalente ad una matrice diagonale, esistono due matrici unimodulari a valori interi M ed N tali che MPN è una matrice invertibile diagonale a valori razionali che chiameremo D; quindi MPN=D.
Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \sim E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:16:28 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:16:10 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:15:34 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:14:47 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 20:01:32 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \sim E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Per lo stesso motivo, NE \sim E ed EN \sim E.

Omissioni:
Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \simeq E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Per lo stesso motivo, NE \simeq E ed EN \simeq E.

Modificato il 2006-02-19 20:00:50 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Corollario:

Omissioni:
Corollario:

Modificato il 2006-02-19 20:00:26 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Modificato il 2006-02-19 19:58:52 da DenteDiLupo

Aggiunzioni:
Per lo stesso motivo, NE \simeq E ed EN \simeq E.
Così xI_n-A = xI_n- P_{-1}BP=P_{-1}(xI_n-N)P=ND_{-1}M((xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}DN_{-1} (visto che N è unimodulare) \sim D_{-1}M(xI_n-B)M_{-1}D (visto che N_{-1} è unimodulare) \sim M(xI_n-B)M_{-1}(che per quanto già dimostrato) \sim xI_n-B (visto che M ed M_{-1} sono unimodulari)

Omissioni:
Per lo stesso motivo, NE \simeq E ed EN \simeq E

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Vista della pagina:

Una condizione necessaria di Similitudine

Teorema:

Date due matrici A, B di dimensione n x n e a valori razional, allora xI_n-A ed xI_n-B sono matrici polinomiali equivalenti

A\simeq B <=> xI_n-A\sim xI_n-B.

Dimostrazione 1. condizione necessaria: A\simeq B => \ xI_n-A\sim xI_n-B

Mostreremo innanzitutto che data una matrice E di dimensione n x n a valori razionali e una matrice diagonale e invertibile D a valori polinomiali, allora D^{-1}ED\sim E.
Sappiamo che E è equivalente a una determinata matrice diagonale F, quindi date due matrici unimodulari M e N: E = MFN
ovvero: E = T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_l
dove le T_i sono tilt polinomiali.

Ora, dato che D^{-1}D = I, possiamo scrivere:
G = D^{-1}ED = D^{-1}T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_lD = D^{-1}T_1DD^{-1}T_2DD^{-1}T_3D...D^{-1}T_kDD^{-1}FDD^{-1}T_{k+1}D...D^{-1}T_lD.

Consideriamo D^{-1}ED, sappiamo che il valore di riga i e colonna j di G sarà esattamente d_i^{-1}d_j volte il valore di riga i e colonna j di E.

Dato che d_i^{-1}d_j=1 allora possiamo vedere che G = E, ovvero D^{-1}ED = E, e che D^{-1}T_iD = T_i, ovvero che D^{-1}T_iD è una tilt polinomiale.

Abbiamo quindi così che D^{-1}ED \sim D^{-1}FD.

Prendiamo ora due matrici A e B di dimensione n x n a valori razionali e supponiamo che siano simili.
A \simeq B quindi A = P^{-1}BP dove P è una matrice invertibile n x n a valori razionali.
Visto che P è equivalente ad una matrice diagonale, esistono due matrici unimodulari a valori interi M ed N tali che MPN è una matrice invertibile diagonale a valori razionali che chiameremo D; quindi MPN=D.
Visto che M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che ME \simeq E ed E \simeq ME per ogni matrice n \times n a valori polinomiali E.
Per lo stesso motivo, NE \simeq E ed EN \simeq E

Corollario:

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Una condizione necessaria di Similitudine