Una condizione necessaria di Similitudine
Teorema:
Date due matrici A, B di dimensione n x n e a valori razional, allora xI_n-A ed xI_n-B sono matrici polinomiali equivalenti
A\simeq B <=> xI_n-A\sim xI_n-B.
Dimostrazione 1. condizione necessaria: A\simeq B => \ xI_n-A\sim xI_n-B
Mostreremo innanzitutto che data una matrice E di dimensione n x n a valori razionali e una matrice diagonale e invertibile D a valori polinomiali, allora D^{-1}ED\sim E.
Sappiamo che E è equivalente a una determinata matrice diagonale F, quindi date due matrici unimodulari M e N: E = MFN
ovvero: E = T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_l
dove le T_i sono tilt polinomiali.
Ora, dato che D^{-1}D = I, possiamo scrivere:
G = D^{-1}ED = D^{-1}T_1T_2T_3...T_kFT_{k+1}...T_lD = D^{-1}T_1DD^{-1}T_2DD^{-1}T_3D...D^{-1}T_kDD^{-1}FDD^{-1}T_{k+1}D...D^{-1}T_lD.
Consideriamo D^{-1}ED, sappiamo che il valore di riga i e colonna j di G sarà esattamente d_i^{-1}d_j volte il valore di riga i e colonna j di E.
Dato che d_i^{-1}d_j=1 allora possiamo vedere che G = E, ovvero D^{-1}ED = E, e che D^{-1}T_iD = T_i, ovvero che D^{-1}T_iD è una tilt polinomiale.
Abbiamo quindi così che D^{-1}ED \sim D^{-1}FD.
Prendiamo ora due matrici A e B di dimensione
n x n a valori razionali e supponiamo che siano simili.
A \simeq B quindi
A = P^{-1}BP dove P è una matrice invertibile
n x n a valori razionali.
Visto che P è equivalente ad una matrice diagonale, esistono due matrici unimodulari a valori interi M ed N tali che MPN è una matrice invertibile diagonale a valori razionali che chiameremo D; quindi MPN=D.
Visto che
M è prodotto di tilts, è anche prodotto di tilts polinomiali, questo implica che
ME \sim E ed
E \simeq ME per ogni matrice
n \times n a valori polinomiali
E.
Per lo stesso motivo,
NE \sim E ed
EN \sim E.
Così
xI_n-A = xI_n- P^{-1}BP=P^{-1}(xI_n-N)P=ND^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} \sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}DN^{-1} (visto che
N è unimodulare)
\sim D^{-1}M(xI_n-B)M^{-1}D (visto che
è unimodulare)
\sim M(xI_n-B)M^{-1} (che per quanto già dimostrato)
\sim xI_n-B (visto che
M ed
M^{-1} sono unimodulari)
Corollario
Se
A \simeq B, xI_{n} -A e
xI_{n}-B hanno lo stesso determinante.
Per una matrice
n x n Aa valori razionali, il determinante di
xI_{n}-A è chiamato
polinomio caratteristico di A. Così, il corollario dice che
matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Il polinomio caratteristico di una matrice
n x n A è sempre monico di grado
n, visto che il determinante di
xI_{n}-A è una somma di
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