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Se r\,<\,n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Omissioni:
Se r,\<,\n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
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Aggiunzioni:
Se r,\<,\n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Omissioni:
Se r\<\n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
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Aggiunzioni:
Se r\<\n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Omissioni:
Se r\,<\,n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
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Se r\,<\,n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Omissioni:
Se r \le n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
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Se r \le n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Omissioni:
Se r \l n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Modificato il 2007-02-21 17:46:04 da MbutU
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Se r \l n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Omissioni:
Se r \leq s allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Modificato il 2007-02-21 17:43:35 da MbutU
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Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione n e siano \{v_1,v_2,...,v_r\}, un insieme di vettori linearmente indipendenti; esistono allora dei vettori v_{r+1},v_{r+2},...,v_n \in V tali che l'insieme B=\{v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1},v_{r+2},...,v_n\} sia una base per lo spazio V
Omissioni:
Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione n e siano \{v_1,v_2,...,v_r\}, un insieme di vettori linearmente indipendenti; esistono allora dei vettori v_{r+1},v_{r+2},...,v_n \in V tali che l'insime B=\{v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1},v_{r+2},...,v_n\} sia una base per lo spazio V
Modificato il 2007-02-21 16:00:25 da MbutU
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Ma l'unico scalare nullo può essere solo \alpha_{r+1}. Infatti qualsiasi altro scalare \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r \not= 0 implicherebbe che uno dei vettori v_1,v_2,...,v_r sia nullo. Ma ciò è impossibile. Ma non può essere neppure \alpha_{r+1} \not=0 in quanto il vettore v_{r+1} risulterebbe linearmente dipendente dai restanti v_1,v_2,...,v_r vettori. Ma per come è stato scelto v_{r+1} questo non può accadere.
Omissioni:
Ma l'unico scalare nullo può essere solo \alpha_{r+1}. Infatti qualsiasi altro scalare \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r \not= 0 implicherebbe che uno dei vettori v_1,v_2,...,v_r sia nullo. Ma ciò è impossibile. Ma non può essere manco \alpha_{r+1} \not=0 in quanto il vettore v_{r+1} risulterebbe linearmente dipendente dai restanti v_1,v_2,...,v_r vettori. Ma per come è stato scelto v_{r+1} questo non può accadere.
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Teorema del completamento a base
Sia
V uno spazio vettoriale sul campo
K di dimensione
n e siano
\{v_1,v_2,...,v_r\}, un insieme di vettori linearmente indipendenti; esistono allora dei vettori
v_{r+1},v_{r+2},...,v_n \in V tali che l'insime
B=\{v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1},v_{r+2},...,v_n\} sia una base per lo spazio
V
Dimostrazione (algoritmica)
Se
r = n allora i vettori
v_1,v_2,...,v_r sono una base per
V
Se
r \leq s allora i vettori
v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per
V. Esisterà quindi un vettore
v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme
\{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori
v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Se così non fosse si troverebbero degli scalari
\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1} non tutti nulli tali che
\alpha_1v_1+\alpha_2,v_2+...+\alpha_rv_r+\alpha_{r+1}v_{r+1}=\bar0.
Ma l'unico scalare nullo può essere solo
\alpha_{r+1}. Infatti qualsiasi altro scalare
\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r \not= 0 implicherebbe che uno dei vettori
v_1,v_2,...,v_r sia nullo. Ma ciò è impossibile. Ma non può essere manco
\alpha_{r+1} \not=0 in quanto il vettore
v_{r+1} risulterebbe linearmente dipendente dai restanti
v_1,v_2,...,v_r vettori. Ma per come è stato scelto
v_{r+1} questo non può accadere.
Iterando il procedimento si possono trovare i vettori
v_{r+2},v_{r+3},...,v_n che permetteranno la composizione della base
B=\{v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1},v_{r+2},...,v_n\}
