Teorema del completamento a base

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione n e siano \{v_1,v_2,...,v_r\}, un insieme di vettori linearmente indipendenti; esistono allora dei vettori v_{r+1},v_{r+2},...,v_n \in V tali che l'insieme B=\{v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1},v_{r+2},...,v_n\} sia una base per lo spazio V

Dimostrazione (algoritmica)

Se r = n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r sono una base per V
Se r\,<\,n allora i vettori v_1,v_2,...,v_r non possono costituire una base per V. Esisterà quindi un vettore v_{r+1} \in V che non apparterrà all'insieme \{v_1,v_2,...,v_r\}, ma ne sarà linearmente indipendente. Per tanto i vettori v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1} saranno linearmenti indipendenti.
Se così non fosse si troverebbero degli scalari \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1} non tutti nulli tali che \alpha_1v_1+\alpha_2,v_2+...+\alpha_rv_r+\alpha_{r+1}v_{r+1}=\bar0.
Ma l'unico scalare nullo può essere solo \alpha_{r+1}. Infatti qualsiasi altro scalare \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r \not= 0 implicherebbe che uno dei vettori v_1,v_2,...,v_r sia nullo. Ma ciò è impossibile. Ma non può essere neppure \alpha_{r+1} \not=0 in quanto il vettore v_{r+1} risulterebbe linearmente dipendente dai restanti v_1,v_2,...,v_r vettori. Ma per come è stato scelto v_{r+1} questo non può accadere.
Iterando il procedimento si possono trovare i vettori v_{r+2},v_{r+3},...,v_n che permetteranno la composizione della base B=\{v_1,v_2,...,v_r,v_{r+1},v_{r+2},...,v_n\}

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