Teorema di estrazione di una base

Sia V\not=\{\bar 0\} uno spazio vettoriale sul campo K e sia G=\{v_1,v_2,...,v_n\} un insieme di generatori per V. Esiste allora un sottoinsieme B di G che è una base di V.

Dimostrazione (algoritmica)

Si iniziano a controllare tutti i vettori dell'insieme uno dopo l'altro.
Di tutti i vettori presi in considerazione, si scartono i primi vettori nulli v_1,v_2,...,v_{m-1}=\bar 0,e si prende il primo vettore v_m \not=\bar 0.
Questo vettore v_m lo si rinominerà w_1 e sarà il primo vettore del nuovo sottospazio B dello spazio vettoriale V che si sta costruendo.
A questo punto si continuano a controllare i restanti vettori di G.
Questa volta, oltre a continuare a scartare i vettori nulli, verranno scartati anche i vettori proporzionali a w_1.
Siano i vettori v_{m+1},v_{m+2},...v_{k-1} tutti vettori o nulli, o proporzionali a w_1, e sia v_k il primo vettore non nullo e non proporzionale a w_1.
Tale vettore v_k verrà rinominato w_2 e sarà il secondo vettore del nuovo sottospazio B=\{w_1,w_2\}.
Continuando a scorrere l'insieme G, verranno presi in considerazione solo i vettori non nulli e non proporzionali ai vettori già scelti. Finita la scansione e attuata una opportuna rinomina si otterrà l'insieme B=\{w_1,w_2,...,w_r\} che sarà una base per lo spazio vettoriale V
Se B non fosse una base vuol dire che i vettori scelti non saranno tutti linearmente indipendenti; quindi presi degli scalari \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r non tutti nulli esisterebbe una combinazione lineare con i vettori di B tale che \alpha_1w_1+\alpha_2w_2+...+\alpha_rw_r = \bar 0
Si prenda in considerazione lo scalare \alpha_i \not= 0 (l'elemento \alpha_i sarà sicuramente diverso da \alpha_1, perché se così non fosse il primo vettore scelto w_1 risulterebbe nullo).
Per tanto dall'eguaglianza \alpha_1w_1+\alpha_2w_2+...+\alpha_rw_r = \bar 0 si ricaverà: \alpha_iw_i = \alpha_1w_1+\alpha_2w_2+...+\alpha_{i-1}w_{i-1}+\alpha_{i+1}w_{i+1}+...+\alpha_rw_r = \bar 0
Dividendo entrambi i menbri per lo scalare non nullo \alpha_i si otterrà: w_i={\alpha_1\over\alpha_i}w_1+{\alpha_2\over\alpha_i}w_2+...+{\alpha_{i-1}\over\alpha_i}w_{i-1}+{\alpha_{i+1}\over\alpha_i}w_{i+1}+...+{\alpha_r\over\alpha_i}w_r = \bar 0
Il che fa giungere ad un assurdo, in quanto w_i dipenderebbe linearmente dai restanti vettori di B che non può accadere per come è stato costruito B.

Esempio:
G=\{\bar0,v,\bar0,w,w+v,t\}
B=\{v,w,t\}

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