Piano Inclinato

Quando si deve trattare un problema di una massa su un piano inclinato bisogna prima capire quali sono le forze che intervengono.
Analizzando il caso di un oggetto puntiforme che scivola su un piano inclinato di un angolo \theta° privo di attrito, le forze che intervengono sono 2: La forza normale N e la forza di gravità F_g.


A questo punto è possibile scomporre il vettore F_g nelle sue componenti: F_{gy} e F_{gx}


Da qui si nota che il vettore della Forza normale N e la componente lungo l’asse y della F_g sono due vettori che hanno stesso modulo, stessa direzione, ma verso opposto; quindi le due forze si annulleranno tra di loro. Da ciò segue che l’unica forza di cui si dovrà tener conto è la componente lungo l’asse x della F_g: F_{gx}
Se si proietta un segmento dal punto materiale si verrà a formare un nuovo triangolo rettangolo di vertici A'CB'


La gradazione del nuovo triangolo sarà identica a quella del primo; infatti l’angolo in B' sarà di 90°, l’angolo di C, che non ha subito variazioni, sarà di \theta°, e l’angolo in A' sarà di 90°-\theta° (proprio come l’angolo in A)

Se si proietta un altro segmento dalla funta del vettore F_{gx} sul lato A'B' del secondo triangolo si verrà a formare un terzo triangolo rettangolo A'C''B''

In questo nuovo terzo triangolo A'B''C'' l’ampiezza degli angoli è ancora uguale a quella dei primi due: infatti l’angolo in A' è lo stesso angolo del secondo triangolo che è 90°-\theta°, l’angolo in B'' è di 90°, di conseguenza l’angolo in C'' è di \theta°
Nel triangolo A'B''C'' il cateto A'B'' è la componente lungo l’asse x della forza di gravità F_g
Dalle regole trigonometriche si sa che per calcolare il cateto opposto all’angolo dato interviene il seno dell’angolo stesso.
Quindi il calcolo di F_gx sarà: {m}\cdot{g}\cdot{\sin\theta}.

Per analogia, se l’angolo dato non è l’angolo \theta° in C (del primo triangolo), ma l’angolo \varphi in A, la formula per calcolare F_{gx} sarà:{m}\cdot{g}\cdot{\cos\varphi}.

La forza di Attrito (F_A) è una forza che si oppone al movimento; essa si compone di una costante \mu (che descrive le proprietà microscopiche della materia) moltiplicato per la forza normale N: F_A = {\mu}\cdot{N}.

Dal terzo principio di Newton si sa che ad ogni forza ne esiste una uguale e contraria
Se si prende in esame un blocco posto su un piano, su di esso agiscono due forze: la forza di gravità F_g e la N.


Per terza legge di Newton queste due forze si annullano.
Pertanto si può istaurare l’eguaglianza: F_g = N da cui segue che F_g - N = 0.
Poiché F_g = {m}\cdot{g} (dove m è la massa dell’oggetto e g è l’accelerazione di gravità -9,81 m/s^2) si ha che N = -{m}\cdot{g}
Ritornando al piano inclinato:
In questo caso la forza di gravità è stava divisa in due componenti F_{gx} e F_{gy}: come già detto la componente lungo y della forza di gravità si annulla con la normale N.
Quindi F_{gy} - N = 0 da cui segue che F_{gy} = N

Se si riconsidera nuovamente il triangolo A'B''C'' si nota che il cateto B''C'' è parallelo alla componente della forza di gravità lungo y. Se si fa una traslazione del triangolo A'B''C'' il cateto B''C'' e F_{gy}coincidono; quindi calcolare l’uno equivale a calcolare l’altro.

Dalle regole trigonometriche si sa che per calcolare il cateto adiacente all’angolo dato interviene il coseno dell’angolo stesso. Quindi il calcolo di F_{gy} sarà: {m}\cdot{g}\cdot{\cos\theta}
Dall’eguaglianza F_{gy} = N è possibile ricavare il valore della normale: N = {m}\cdot{g}\cdot{\cos\theta}
Poiché la forza di attrito era stata definita come {\mu}\cdot{N}, adesso si ha che F_A = {\mu}\cdot{m}\cdot{\cos\theta}
Dal momento che la forza di gravità la si era presentata come una forza opposta al movimento si ottiene l’eguaglianza: F_{gx} = F_A

Ovvero: {m}\cdot{g}\cdot{\sin\theta} = {\mu}\cdot{m}\cdot{g}\cdot{\cos\theta}
Isolando la costante \mu si ricava che essa {\mu} = {{m}\cdot{g}\cdot{\sin\theta}\over{m}\cdot{g}\cdot{\cos\theta}} = {{\sin\theta}\over{\cos\theta}} = \tan\theta.


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