Equazioni Differenziali

Le equazioni differenziali sono tipi particolari di equazioni, dove le incognite non sono numeri, ma delle funzioni che compaiono con le loro derivate.
Le equazioni differenziali nascono da relazioni semplici che si possono istaurare tra le funzioni e le proprie derivate.
Se si considera la funzione
f(t) = e^{t}
la sua derivata prima sarà
f '(t) = e^{t}
di conseguenza si può istaurare la relazione f(t) = f'(t)
f(t) = f'(t) risulta un esempio abbastanza semplice di equazione differenziale dove e^{t} è una soluzione
Le equazioni differenziali hanno un ordine e tale ordine dipende dal grado massimo della derivata della funzione che compare nell’equazione
Nell’esempio precedente l’equazione era di ordine 1
Un esempio di ordine 2 è la seguente equazione:
f''(t) = -f(t)
dove f(t) = sint risulta essere una possibile soluzione dell’equazione

La formula più generale possibile è una scrittura del tipo
G(t,y,y') = 0
Dove la funzione G è una funzione di tre variabili G(t,y_{0},y_{1}) definita : A \subseteq R^{3} \to R.
Quindi nei vari casi si sostituirà in maniera formale ad y_{0} la funzione y e ad y_{1} la sua derivata prima

Per esempio:
y'y+y^{0}=t questa funzione nasce dalla funzione G(t,y_{0}y_{1})=y_{1}y_{0}+y_{0}^{2}-t
Infatti sostituendo y_{0} con y e y_{1} con y' e ponendolo = 0 si tornerebbe alla funzione originale

Scrivendo invece l’equazione nella forma normale rispetto alla più alta derivata che compare si avrebbe : y' = F(t,y) \Longrightarrow {y'} = {t - y^{2} \over y}

Equazione differenziale di secondo ordine
La formula più generale possibile risulterebbe G(t,y,y',y') = 0
Dove G è una funzione in 4 variabili G(t,y_{0},y_{1},y_{2}) definita : A \subseteq R^{4} \to R
E nei vari casi si sostituirà ad y_{0} la funzione y, ad y_{1} la sua derivata prima e ad y_{2} la sua derivata seconda
Per esempio se si parte dalla seguente funzione differenziale
G(t,y_{0}y_{1}y_{2}) = ty_{1}+y_{2} – y_{0}
Sostituendo si ottiene: ty'+y''-y = 0
Scrivendo l’equazione nella forma normale si ha: y'' = F(t,y,y') \Longrightarrow y'' = {y \over t y'}

Equazione differenziale di n-mo ordine
La formula più generale possibile risulterebbe G(t,y,y',y'',…,y^{n}) = 0
Dove G è una funzione a n+2 variabili (perché oltre alle n derivate ci sono pure t e y)
G(t,y_{0},y_{1},…y_{n}) definita : A \subseteq R^{n+2} \to R
La cui forma normale sarà : y^{n} = F(t,y,y',…y^{n-1})

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