Teorema di Rolle

Data una funzione f(x) : [a,b]\rightarrow\Re
Se

• f(x) è continua in [a,b]
• f(x) è derivabile in ]a,b[
• f(a)=f(b)

Allora esisterà un punto \alpha \in ]a,b[ tale che f'(\alpha)=0.

Dimostrazione
Innanzitutto se la funzione è costante e cioè se f(x)=k, allora la derivata prima varrà zero per tutti i valori di ]a,b[.
Se la funzione non è costante, essendo continua in [a,b], per il teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo in [a,b].
Supponiamo che sia f(\alpha) = massimo di f(x) e f(\beta) = minimo di f(x).
Dato che f(\alpha)\neq f (\beta) (altrimenti la funzione sarebbe costante) e dato che (per ipotesi) f(a)=f(b), almeno uno dei due punti \alpha o \beta appartiene all'intervallo ]a,b[, supponiamo che sia \alpha.
Essendo f(x) derivabile in \alpha (perchè \alpha \in ]a,b[ e per ipotesi f(x) è derivabile in ]a,b[), ed essendo \alpha un punto di minimo relativo, la derivata prima in \alpha sarà uguale a zero.

Quindi il teorema è dimostrato.

Nota
Il teorema di Rolle è un caso di particolare del teorema di Lagrange, infatti secondo il teorema di Lagrange se una funzione è continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esisterà almeno un punto in cui la derivata prima assume il valore \frac{f(b)-f(a)}{b-a}, ma nel caso particolare in cui f(a) ed f(b) coincidono questo rapporto sarà uguale a 0.

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