Data una funzione f(x) : [a,b] \rightarrow \Re.
Se

• f(x) è continua in [a,b]
• f(x) è derivabile in ]a,b[

Allora esisterà un valore \alpha \in ]a,b[ tale che f'(\alpha)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .

Dimostrazione
Consideriamo una funzione F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-a), F(x) essendo somma di funzioni continue in [a,b] e derivabili in ]a,b[ sarà di conseguenza anch'essa continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[.

Inoltre sia in a che in b assume il valore zero :

F(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(a-a)=0
F(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(b-a)=0

F(x) è quindi continua in [a,b], derivabile in ]a,b[, ed assume lo stesso valore agli estremi (F(a)=F(b)) di conseguenza per il Teorema di Rolle esisterà un punto dell'intervallo ]a,b[ in cui la derivata prima si annulla : F'(x)=0.

La derivata prima di F(x) è F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, di conseguenza esisterà un punto in cui F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 e cioè esisterà un punto in cui f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, il che è proprio quello che volevamo dimostrare.