La versione più recente è stata modificata il 2006-03-03 07:32:14 da MorpHeus

Aggiunzioni:
Utilizzando il criterio di Cauchy si deduce che ogni serie assolutamente convergente è convergente. Il viceversa in generale non è vero. La serie considerata nell’esempio 4 è convergente ma non è assolutamente convergente.

Omissioni:
Utilizzando il criterio di Cauchy si deduce che ogni serie assolutamente convergente è convergente. Il viceversa ingenerale non è vero. La serie considerata nell’esempio 4 è convergente ma non è assolutamente convergente.

---

Modificato il 2006-02-25 16:43:32 da MbutU

Aggiunzioni:
anche con \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n.

Se la serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .
La serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.

Omissioni:
anche con \sum\limits_{n=1}^\infty a_n.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\{+infty} a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\{+infty} a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .
La serie \sum\limits_{n=1}^\{+infty} \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.

---

Modificato il 2006-02-25 16:42:22 da MbutU

Aggiunzioni:
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\{+infty} a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\{+infty} a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .
La serie \sum\limits_{n=1}^\{+infty} \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.

Omissioni:
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\infty a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\infty a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .
La serie \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.

---

Modificato il 2006-02-24 16:50:36 da XoEn

Aggiunzioni:
anche con \sum\limits_{n=1}^\infty a_n.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\infty a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.
Se la serie \sum\limits_{n=1}^\infty a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .
La serie \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.
Una serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n si dice assolutamente convergente se è convergente la serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \left | a_n \right |.

Omissioni:
anche con \sum_{n=1}^\infty a_n.
Se la serie \sum_{n=1}^\infty a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.
Se la serie \sum_{n=1}^\infty a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .
La serie \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.
Una serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n si dice assolutamente convergente se è convergente la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left | a_n \right |.

---

Modificato il 2006-02-24 14:54:17 da MbutU

Omissioni:
Osservazione 4. (Criterio di Cauchy).
Ricordiamo che una successione \left ( s_n \right) è convergente se e solo se è di Cauchy, cioè se \forall \; \varepsilon \ > \ 0 \ \exists \; n_{\left ( \varepsilon \right)} tale che \forall \; n, m \ge \ n_{\left ( \varepsilon \right)} risulta \left | s_m - s_n \right | < \varepsilon. Se scegliamo m = n + p con p \in \mathbb{N}, allora la successione \left ( s_n \right) è convergente se e solo se per ogni \forall \; n \ge \ n_{\left ( \varepsilon \right)} e \forall \; p \in \mathbb{N} risulta soddisfatta la condizione \left | s_{n+p} - s_n \right | < \varepsilon.
Se la successione \left ( s_n \right) è quella delle somme parziali della serie \sum_{n=1}^\infty a_n deduciamo il seguente criterio di Cauchy. La serie \sum_{n=1}^\infty a_n è convergente se e solo se \forall \; \varepsilon \ > \ 0 \ \exists \; n_{\left ( \varepsilon \right)} tale che \forall \; n \ge \ n_{\left ( \varepsilon \right)} e \forall \; p \in \mathbb{N} risulta \left | \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right | < \varepsilon.

Esempio 2.

Determinare il carattere della serie armonica \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. Osserviamo che per ogni n \in \mathbb{N} risulta

\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} \ge \frac{1}{2}

Il criterio di Cauchy permette di affermare che tale serie non è convergente, dato che la condizione richiesta non è soddisfatta se \varepsilon \ < \frac{1}{2}, ed essendo una serie a termini positivi risulta divergente positivamente.

Esempio 3.

Determinare il carattere della serie \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\left ( n+1 \right)}.
Si osserva che \frac{1}{k\left ( k+1 \right)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} per ogni k \in \mathbb{N} e si ottiene che s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\left ( k+1 \right)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \frac{n}{n+1}.
Da s_n \to 1 segue che la serie data è convergente ed ha per somma 1.

Criterio del Confronto.

Siano \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n e \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n due serie a termini non negativi con a_n \le b_n per ogni n \in \mathbb{N}. Posto s_n = \sum_{k=1}^n a_n e t_n = \sum_{k=1}^n b_n, dalla relazione \lim_{n \to {+ \infty}}s_n \le \lim_{n \to {+ \infty}}t_n (si ricordi che le successioni \left ( s_n \right), \left ( t_n \right) sono regolari), deduciamo che:
i) se la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è divergente positivamente lo è anche la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n;
ii) se la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n è convergente lo è anche la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n.
Dal criterio precedente si deduce che se \exists \; \lim_{n \to {+ \infty}}\frac{a_n}{b_n} \in \mathbb{R}_+ allora leserie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n e \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n hanno lo stesso carattere (cioè sono entrambe convergenti o entrambe divergenti positivamente).

Esempio 4.

Le serie \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n\left ( n+1 \right)} e \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^2} hanno lo stesso carattere.
Basta osservare che {\frac{1}{n\left ( n+1 \right)} \over \frac{1}{n^2}} \to 1 \,\!.

Esempio 5.

La serie 1+x+...+x^{n-1}+... è la serie geometrica di ragione x.
Da s_n = \frac{1-x^n}{1-x} se x \ne 1 e s_n = n se x = 1 deduciamo che la serie geometrica è convergente ed ha per somma \frac{1}{1-x} se \left | x \right | \ < 1, è divergente positivamente per x \ge 1 ed è indeterminata per x \le -1.

Criterio della radice.

Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini non negativi.
i) Se esiste x \in \left ] 0,1 \right [ tale che \sqrt[n]{a_n}\le x per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è convergente,
ii) se a \sqrt[n]{a_n}\ge 1 per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è divergente positivamente.
Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione a_n \le x^n, che assicura che la serie considerata è minorante rispetto alla serie \sum_{n=1}^{+ \infty} x^n geometrica di ragione x che è convergente.
La (ii) dalla relazione a_n \ge 1 che implica che il termine generale della serie non converge a zero.

Osservazione 5. (Criterio della radice sotto forma di limite).

Se \lim_{n \to {+ \infty}} \sqrt[n]{a_n} = l, la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente se l \ < 1, è divergente positivamente se l \ > 1. Se l = 1 a priori non possiamo dire nulla.

Criterio del rapporto.

Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini positivi.
i) Se esiste x \in \left ] 0,1 \right [ tale che \frac{a_{n+1}}{a_n} \le x per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è convergente,
ii) se \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1 per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è divergente positivamente.
Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione a_{n+1} \le xa_n che implica a_n \le x^{n-1}a_1 e quindi la serie data è minorante rispetto alla serie geometrica \sum_{n=1}^{+ \infty} a_1x^{n-1} che è convergente.
La (ii) dalla relazione a_{n+1} \ge a_n che implica che il termine generale della serie non converge a zero.

Osservazione 6. (Criterio del rapporto sotto forma di limite).

Se \lim_{n \to {+ \infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l, la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente se l \ < 1, è divergente positivamente l \ > 1. Se l = 1 a priori non possiamo dire nulla.

Criterio della serie di Cauchy.

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^ka_{2^k} se a_n \to 0 non crescendo.

Esempio 6.

La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se \alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il

criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ > 1. Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica generalizzata otteniamo il seguente:
Criterio degli infinitesimi.

Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini positivi. Se esistono \alpha,l \in \mathbb{R_+} tali che n^\alpha a_n \to l, allora

se \alpha \ > 1 la serie considerata è convergente,

se \alpha \le 1 la serie data è divergente.

Criterio di Leibniz.

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} a_n con a_n \to 0 decrescendo è convergente e denotata con s la sua somma risulta \left | s - s_n \right | \le a_{n+1} per ogni n \in \mathbb{N} .

Esempio 7.

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} \frac{1}{n} è convergente, infatti \frac{1}{n} \to 0 decrescendo,

---

Modificato il 2006-02-24 14:00:23 da MbutU

Aggiunzioni:
Esempio 7.
La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} \frac{1}{n} è convergente, infatti \frac{1}{n} \to 0 decrescendo,

Definizione 3.

Una serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n si dice assolutamente convergente se è convergente la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left | a_n \right |.
Utilizzando il criterio di Cauchy si deduce che ogni serie assolutamente convergente è convergente. Il viceversa ingenerale non è vero. La serie considerata nell’esempio 4 è convergente ma non è assolutamente convergente.

Omissioni:
\sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} \frac{1}{n}

---

Modificato il 2006-02-24 13:52:37 da MbutU

Aggiunzioni:
La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} a_n con a_n \to 0 decrescendo è convergente e denotata con s la sua somma risulta \left | s - s_n \right | \le a_{n+1} per ogni n \in \mathbb{N} .

Omissioni:
La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} a_n con a_n \to 0 decrescendo è convergente e denotata con s la sua somma risulta "<span class="math">\left | s - s_n \right | \le a_{n+1}</span> per ogni <span class="math">n \in \mathbb{N}</span>"" .

---

Modificato il 2006-02-24 13:51:41 da MbutU

Aggiunzioni:
La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se \alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} a_n con a_n \to 0 decrescendo è convergente e denotata con s la sua somma risulta "<span class="math">\left | s - s_n \right | \le a_{n+1}</span> per ogni <span class="math">n \in \mathbb{N}</span> . <span class="math">\sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} \frac{1}{n}</span>""

Omissioni:
La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se a\alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il

La serie (-1)n+1an
n=1
+¥
å con an 0 decrescendo è
convergente e denotata con s la sua somma risulta s - sn £ an+1
per ogni n IN.

---

Modificato il 2006-02-24 13:45:16 da MbutU

Aggiunzioni:
Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini positivi. Se esistono \alpha,l \in \mathbb{R_+} tali che n^\alpha a_n \to l, allora

1. se \alpha \ > 1 la serie considerata è convergente,
2. se \alpha \le 1 la serie data è divergente.

Criterio di Leibniz.
La serie (-1)n+1an

Omissioni:
Se esistono \alpha,l \in \mathbb{R_+} tali che n an l , allora
i) se la serie considerata è convergente,
ii) se £ 1 la serie data è divergente.
Criterio di Leibniz. La serie (-1)n+1an

---

Modificato il 2006-02-24 13:41:52 da MbutU

Aggiunzioni:
Criterio degli infinitesimi.
Se esistono \alpha,l \in \mathbb{R_+} tali che n an l , allora
i) se la serie considerata è convergente,
ii) se £ 1 la serie data è divergente.
Criterio di Leibniz. La serie (-1)n+1an
n=1
+¥
å con an 0 decrescendo è
convergente e denotata con s la sua somma risulta s - sn £ an+1
per ogni n IN.

---

Modificato il 2006-02-24 13:19:51 da XoEn

Aggiunzioni:
La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se a\alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ > 1. Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica generalizzata otteniamo il seguente:

Omissioni:
La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se a\alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ > 1. Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica generalizzata otteniamo il seguente:

---

Modificato il 2006-02-23 17:42:07 da MbutU

Aggiunzioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ > 1. Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica generalizzata otteniamo il seguente:

Omissioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ < 1. Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica generalizzata otteniamo il seguente:

---

Modificato il 2006-02-23 17:40:51 da MbutU

Aggiunzioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ < 1. Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica generalizzata otteniamo il seguente:

Omissioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )^k}
2k
n=1
+¥
å = 2(1 - ) k
n=1
+¥
å che converge se 21- < 1,
se e solo se a > 1.
Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica
generalizzata otteniamo il seguente:

---

Modificato il 2006-02-23 17:32:07 da MbutU

Aggiunzioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )^k}

Omissioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^ \left ( 1-\alpha \right )^k

---

Modificato il 2006-02-23 17:31:23 da MbutU

Aggiunzioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^ \left ( 1-\alpha \right )^k

Omissioni:
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^\left ( 1-\alpha \right )^k

---

Modificato il 2006-02-23 17:30:44 da MbutU

Aggiunzioni:
Esempio 6.

La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se a\alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il

criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^\left ( 1-\alpha \right )^k

Omissioni:
Esempio 6. La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha}
1
n n =1
å è convergente
se a>1 e divergente se a£1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo
stesso carattere della serie 2k

---

Modificato il 2006-02-23 17:20:08 da MbutU

Aggiunzioni:
Criterio della serie di Cauchy.

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^ka_{2^k} se a_n \to 0 non crescendo.

Esempio 6. La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha}
1
n n =1
+¥
å è convergente
se a>1 e divergente se a£1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo
stesso carattere della serie 2k
2k
n=1
+¥
å = 2(1 - ) k
n=1
+¥
å che converge se 21- < 1,
se e solo se a > 1.
Utilizzando il criterio del confronto e la serie armonica
generalizzata otteniamo il seguente:

---

Modificato il 2006-02-23 17:09:56 da MbutU

Aggiunzioni:
Osservazione 6. (Criterio del rapporto sotto forma di limite).

Se \lim_{n \to {+ \infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l, la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente se l \ < 1, è divergente positivamente l \ > 1. Se l = 1 a priori non possiamo dire nulla.

---

Modificato il 2006-02-23 16:58:30 da MbutU

Aggiunzioni:
ii) se \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1 per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è divergente positivamente.
Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione a_{n+1} \le xa_n che implica a_n \le x^{n-1}a_1 e quindi la serie data è minorante rispetto alla serie geometrica \sum_{n=1}^{+ \infty} a_1x^{n-1} che è convergente.
La (ii) dalla relazione a_{n+1} \ge a_n che implica che il termine generale della serie non converge a zero.

Omissioni:
ii) se \frac{a_{n+1}}{a_n} \le x

an
³ 1 per ogni n IN la serie data è divergente
positivamente.
Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione an+1£ xan che implica
an £ xn-1a1 e quindi la serie data è minorante rispetto alla serie
geometrica a1xn-1
n=1
+¥
å che è convergente.
La (ii) dalla relazione an+1³an che implica che il termine generale
della serie non converge a zero.

---

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Serie Numeriche

Definizione 1. Data una successione \left ( a_n \right) alla scrittura formale


Definizione 2.


Osservazione 1.


Osservazione 2.


Osservazione 3.


Esempio 1.


Osservazione 4. (Criterio di Cauchy).


Esempio 2.




Esempio 3.



Criterio del Confronto.





Esempio 4.


Esempio 5.


Criterio della radice.




Osservazione 5. (Criterio della radice sotto forma di limite).


Criterio del rapporto.



an
³ 1 per ogni n IN la serie data è divergente
positivamente.
Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione an+1£ xan che implica
an £ xn-1a1 e quindi la serie data è minorante rispetto alla serie
geometrica a1xn-1
n=1
+¥
å che è convergente.
La (ii) dalla relazione an+1³an che implica che il termine generale
della serie non converge a zero.

---

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