1) a_1 + a_2 + ... + a_n + ...

si dà il nome di serie.

I numeri a_1, a_2,... ,a_n ,... rappresentano i termini della serie, in
particolare a_n è il termine generale della serie. La (1) si denota
anche con \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n.

La successione \left ( s_n \right) è nota come successione delle somme
parziali.

i) Se la successione \left ( s_n \right) è convergente, diremo
che la serie (1) è convergente. Se \left ( s_n \right) \to s, diremo che s è la somma
della serie (1).

ii) Se la successione \left ( s_n \right) diverge positivamente (risp. negativamente) diremo che la serie (1) è divergente
positivamente (risp. negativamente).

iii) Se la successione \left ( s_n \right) non è regolare diremo che la serie (1) è
indeterminata.

Se la serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente allora il suo termine generale converge a zero, in simboli a_n \to 0. Tale affermazione segue dall’uguaglianza a_n = s_n - s_{n-1}.

Se la serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n è a termini non negativi, cioè a_n \ge 0 per ogni n, allora è regolare. (Una serie è detta regolare se è convergente o divergente). L’affermazione precedente segue dal fatto che la successione \left ( s_n \right) delle somme parziali è non decrescente, in virtù del fatto che s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n essendo a_{n+1} \ge 0 .

Una serie a termini positivi il cui termine generale non converge a zero è divergente positivamente.

La serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.

Una serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n si dice assolutamente convergente se è convergente la serie \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \left | a_n \right |.

Utilizzando il criterio di Cauchy si deduce che ogni serie assolutamente convergente è convergente. Il viceversa in generale non è vero. La serie considerata nell’esempio 4 è convergente ma non è assolutamente convergente.