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La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se \alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ > 1.
Omissioni:
La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se \alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se 2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se \alpha \ > 1.
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Esercizi svolti sulle Serie Numeriche
Esempio 1.
La serie \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1} diverge positivamente dato che il suo termine generale non converge a zero.
Esempio 2.
Determinare il carattere della serie armonica \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n}. Osserviamo che per ogni n \in \mathbb{N} risulta
\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} \ge \frac{1}{2}
Il criterio di Cauchy permette di affermare che tale serie non è convergente, dato che la condizione richiesta non è soddisfatta se \varepsilon \ < \frac{1}{2}, ed essendo una serie a termini positivi risulta divergente positivamente.
Esempio 3.
Determinare il carattere della serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n\left ( n+1 \right)}.
Si osserva che \frac{1}{k\left ( k+1 \right)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} per ogni k \in \mathbb{N} e si ottiene che s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\left ( k+1 \right)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \frac{n}{n+1}.
Da s_n \to 1 segue che la serie data è convergente ed ha per somma 1.
Esempio 4.
Le serie \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n\left ( n+1 \right)} e \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^2} hanno lo stesso carattere.
Basta osservare che {\frac{1}{n\left ( n+1 \right)} \over \frac{1}{n^2}} \to 1 \,\!.
Esempio 5.
La serie 1+x+...+x^{n-1}+... è la serie geometrica di ragione x.
Da s_n = \frac{1-x^n}{1-x} se x \ne 1 e s_n = n se x = 1 deduciamo che la serie geometrica è convergente ed ha per somma \frac{1}{1-x} se \left | x \right | \ < 1, è divergente positivamente per x \ge 1 ed è indeterminata per x \le -1.
Esempio 6.
La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se \alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il
criterio della serie di Cauchy. Infatti, la serie armonica ha lo stesso carattere della serie
\sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{2^k}{2^{k\alpha}} = \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^{\left ( 1-\alpha \right )k} che converge se
2^{1-\alpha} \ < 1, se e solo se
\alpha \ > 1.
Esempio 7.
La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} \frac{1}{n} è convergente, infatti \frac{1}{n} \to 0 decrescendo.
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