Ricordiamo che una successione \left ( s_n \right) è convergente se e solo se è di Cauchy, cioè se \forall \; \varepsilon \ > \ 0 \ \exists \; n_{\left ( \varepsilon \right)} tale che \forall \; n, m \ge \ n_{\left ( \varepsilon \right)} risulta \left | s_m - s_n \right | < \varepsilon. Se scegliamo m = n + p con p \in \mathbb{N}, allora la successione \left ( s_n \right) è convergente se e solo se per ogni \forall \; n \ge \ n_{\left ( \varepsilon \right)} e \forall \; p \in \mathbb{N} risulta soddisfatta la condizione \left | s_{n+p} - s_n \right | < \varepsilon.
Se la successione \left ( s_n \right) è quella delle somme parziali della serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n deduciamo il seguente criterio di Cauchy. La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente se e solo se \forall \; \varepsilon \ > \ 0 \ \exists \; n_{\left ( \varepsilon \right)} tale che \forall \; n \ge \ n_{\left ( \varepsilon \right)} e \forall \; p \in \mathbb{N} risulta \left | \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right | < \varepsilon.

Determinare il carattere della serie armonica \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n}. Osserviamo che per ogni n \in \mathbb{N} risulta

Il criterio di Cauchy permette di affermare che tale serie non è convergente, dato che la condizione richiesta non è soddisfatta se \varepsilon \ < \frac{1}{2}, ed essendo una serie a termini positivi risulta divergente positivamente.

Determinare il carattere della serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n\left ( n+1 \right)}.

Si osserva che \frac{1}{k\left ( k+1 \right)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} per ogni k \in \mathbb{N} e si ottiene che s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\left ( k+1 \right)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \frac{n}{n+1}.
Da s_n \to 1 segue che la serie data è convergente ed ha per somma 1.

Siano \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n e \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n due serie a termini non negativi con a_n \le b_n per ogni n \in \mathbb{N}. Posto s_n = \sum_{k=1}^n a_n e t_n = \sum_{k=1}^n b_n, dalla relazione \lim_{n \to {+ \infty}}s_n \le \lim_{n \to {+ \infty}}t_n (si ricordi che le successioni \left ( s_n \right), \left ( t_n \right) sono regolari), deduciamo che:

i) se la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è divergente positivamente lo è anche la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n;

ii) se la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n è convergente lo è anche la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n.

Dal criterio precedente si deduce che se \exists \; \lim_{n \to {+ \infty}}\frac{a_n}{b_n} \in \mathbb{R}_+ allora leserie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n e \sum_{n=1}^{+ \infty} b_n hanno lo stesso carattere (cioè sono entrambe convergenti o entrambe divergenti positivamente).

Le serie \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n\left ( n+1 \right)} e \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^2} hanno lo stesso carattere.
Basta osservare che {\frac{1}{n\left ( n+1 \right)} \over \frac{1}{n^2}} \to 1 \,\!.

La serie 1+x+...+x^{n-1}+... è la serie geometrica di ragione x.
Da s_n = \frac{1-x^n}{1-x} se x \ne 1 e s_n = n se x = 1 deduciamo che la serie geometrica è convergente ed ha per somma \frac{1}{1-x} se \left | x \right | \ < 1, è divergente positivamente per x \ge 1 ed è indeterminata per x \le -1.

Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini non negativi.

i) Se esiste x \in \left ] 0,1 \right [ tale che \sqrt[n]{a_n}\le x per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è convergente,

ii) se a \sqrt[n]{a_n}\ge 1 per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è divergente positivamente.

Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione a_n \le x^n, che assicura che la serie considerata è minorante rispetto alla serie \sum_{n=1}^{+ \infty} x^n geometrica di ragione x che è convergente.
La (ii) dalla relazione a_n \ge 1 che implica che il termine generale della serie non converge a zero.

Se \lim_{n \to {+ \infty}} \sqrt[n]{a_n} = l, la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente se l \ < 1, è divergente positivamente se l \ > 1. Se l = 1 a priori non possiamo dire nulla.

Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini positivi.

i) Se esiste x \in \left ] 0,1 \right [ tale che \frac{a_{n+1}}{a_n} \le x per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è convergente,

ii) se \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1 per ogni n \in \mathbb{N} la serie data è divergente positivamente.

Dimostrazione. La (i) segue dalla relazione a_{n+1} \le xa_n che implica a_n \le x^{n-1}a_1 e quindi la serie data è minorante rispetto alla serie geometrica \sum_{n=1}^{+ \infty} a_1x^{n-1} che è convergente.
La (ii) dalla relazione a_{n+1} \ge a_n che implica che il termine generale della serie non converge a zero.

Se \lim_{n \to {+ \infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l, la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n è convergente se l \ < 1, è divergente positivamente l \ > 1. Se l = 1 a priori non possiamo dire nulla.

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n ha lo stesso carattere della serie \sum_{k=1}^{+ \infty} 2^ka_{2^k} se a_n \to 0 non crescendo.

La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^\alpha} è convergente se \alpha \ > 1 e divergente se \alpha \le 1. Tale risultato si ottiene utilizzando il

Sia \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n una serie a termini positivi. Se esistono \alpha,l \in \mathbb{R_+} tali che n^\alpha a_n \to l, allora

i) se \alpha \ > 1 la serie considerata è convergente,

ii) se \alpha \le 1 la serie data è divergente.

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} a_n con a_n \to 0 decrescendo è convergente e denotata con s la sua somma risulta \left | s - s_n \right | \le a_{n+1} per ogni n \in \mathbb{N} .

La serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left ( -1 \right )^{n+1} \frac{1}{n} è convergente, infatti \frac{1}{n} \to 0 decrescendo,

Una serie \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n si dice assolutamente convergente se è convergente la serie \sum_{n=1}^{+ \infty} \left | a_n \right |.

Utilizzando il criterio di Cauchy si deduce che ogni serie assolutamente convergente è convergente. Il viceversa ingenerale non è vero. La serie considerata nell’esempio 4 è convergente ma non è assolutamente convergente.